Jablonský, Josef: Operační výzkum

Podstata operačního výzkumu

Operační výzkum (operational research, operations research, management science). Soubor vědních disciplín (relativně samostatných) se zaměřením na analýzu různých typů rozhodovacích problémů – takže výzkum operací. Operační výzkum nachází aplikace všude tam, kde jde o analýzu a koordinaci provádění operací v rámci nějakého systému s cílem zajistit nejlepší možné fungování tohoto celku. Rozvoj operačního výzkumu jde ruku v ruce s rozvojem výpočetní techniky a software. Optimalizací se chce dosáhnout maxima požadovaného s ohledem na stanovená kritéria posouzení, na omezené zdroje nutné pro provádění daných operací, na vnější činitelé ovlivňující chod systému apod. Základním nástrojem operačního výzkumu je matematické modelování.

Fáze operačního výzkumu:

1. Reálný systém – rozpoznání problému a jeho definice.
2. Ekonomický model – abstrakce reálného systému s ohledem na analyzovaný problém (stačí zahrnout cíl analýzy, procesy, činitele, vzájemný vztah mezi činiteli), slovně-numerický popis problému (v podstatně slovní matematická úloha).
3. Matematický model – přetransformovaný ekonomický model, kde cíl analýzy je vyjádřen pomocí lineární/nelineární funkce n proměnných, procesy odpovídají hodnotám těchto proměnných, činitelé ve formě lineárních/nelineárních rovnic či nerovnic, vazby formou parametrů, které uživatel nemůže ovlivnit (konstanty).
4. Řešení matematického modelu – výběr vhodného programového prostředku (metody, postupu).
5. Interpretace a verifikace – interpretace výsledků z předchozího kroku, jejich ověření pro přistoupení k implementaci.

Disciplíny operačního výzkumu. Pokrývají různé oblasti ekonomického života, proto bylo potřeba specifických přístupů pro různé třídy problémů.

• Matematické programování. Optimalizační úlohy, v nichž jde o optimalizaci kriteriální funkce (tj. nalezení extrému daného kritéria, definovaného tvarem kriteriální funkce n proměnných) na množině variant určených soustavou omezujících podmínek, které jsou zadány ve tvaru lineárních/nelineárních rovnic či nerovnic. Podle linearity kriteriální funkce pak jde o úlohu lineárního nebo nelineárního programování.
• Vícekriteriální rozhodování. Analýza rozhodovacích úloh, v nichž jsou varianty posuzovány podle několika hodnotících kritérií zároveň, která mohou být vůči sobě protikladná.
• Teorie grafů. Grafy coby objekty složené z uzlů a hran pomáhají znázorňovat různé systémy – komunikační sítě nebo projekt vymezený dílčími činnostmi, závislostmi/návaznostmi, ohodnocením. Typickou úlohou je pak nalezení nejkratší cesty mezi dvěma uzly v grafu či časový a nákladový rozbor realizace projektu.
• Teorie zásob (modely řízení zásob). Strategie pro řízení zásobovacího procesu a optimalizaci objemu skladovaných zásob s ohledem na minimalizaci nákladů, případně ztrát souvisejících s pořizováním/držením zásob na skladě.
• Teorie hromadné obsluhy (teorie front). Zkoumá systémy, v nichž figurují požadavky na obsluhu a obslužné linky, které je vypořádávají. S realizací obsluhy souvisí vytváření front a s nimi i otázky zefektivnění fungování systému hromadné obsluhy (= řešení konfliktu mezi stupněm využití linek a dobou čekání požadavků ve frontě na obsluhu).
• Modely obnovy. Zkoumají systémy s jednotkami, které se opotřebovávají a po určité době je třeba je opravit/nahradit. Doba bezporuchového provozu je přitom náhodnou veličinou. Cílem je tedy odhadnout věkovou strukturu jednotek a predikovat počty a časová období pro opravy/náhrady.
• Markovovy rozhodovací procesy. Slouží k popisu chování dynamických systémů, které se mohou nacházet v různých stavech (definovaných, počet stavů je konečný), přičemž přechody mezi stavy podléhají náhodnému chování. Základním cílem Markovovy analýzy je predikce budoucího chování takového systému.
• Teorie her. Zabývá se zkoumáním a definicemi optimálních strategií v rozhodovacích situacích s více než jedním rozhodovatelem, které lze chápat jako hru, kde každý z účastníků volí takové chování, které ho dovede k výhře.
• Simulace (simulační modelování). Nástroj pro analýzu složitých systémů, spočívající v experimentování s vytvořeným (matematickým) modelem daného systému za účelem sledování stavu/chování zkoumaného systému při různých hodnotách parametrů (chování ovlivňujících) a nalezením optimálního nastavení.

Lineární programování

Lineární programování je prostředkem pro plánování realizace (v tomto smyslu programování) činností tak, aby bylo dosaženo optimálního výsledku ve vztahu k definovanému cíli. „Lineární“ znamená, že všechny vazby jsou vyjádřeny lineárními funkcemi.

Typické úlohy lineárního programování:

• Výrobní plánování (problém alokace zdrojů). Cíl: maximalizace zisku nebo minimalizace nákladů (určit optimální objem produkce s ohledem na omezené zdroje výroby).
• Finanční plánování (optimalizace portfolia). Cíl: maximalizace očekávaného výnosu nebo minimalizace rizika (určit optimální objem investic do jednotlivých investičních variant s ohledem na limity investic).
• Plánování reklamy (Media Selection Problem). Cíl: maximalizace mediálních charakteristik (optimální rozložení prostředků na reklamu do jednotlivých médií, případně do časových oken v daném médiu s ohledem na preferované cílové skupiny a rozpočet).
• Nutriční problém (úloha o výživě). Cíl: maximalizace výživové hodnoty nebo minimalizace ceny výživové dávky (optimalizace dávky výživy s ohledem na sledované faktory – energie, voda, vitamíny, minerály aj., s ohledem na cenu).
• Směšovací problém. Cíl: minimalizace nákladů na vytvoření směsi (optimalizace výroby směsi požadovaných vlastností s ohledem na cenu komponent).
• Dělení materiálu. Cíl: minimalizace plýtvání materiálem (optimalizace dělení celků na menší části s ohledem na odpadovost).
• Rozvrhování pracovníků. Cíl: maximalizace objemu práce nebo minimalizace ceny směny (optimalizace směn s ohledem na kvalifikaci pracovníků, jejich počet atd.).
• Distribuční úlohy lineárního programování. Cíl: minimalizace nákladů distribuce (optimalizace distribuce například mezi dodavateli a odběrateli).

Simplexová metoda. Iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního řešení úlohy lineárního programování. Pomocí opakované transformace simplexové tabulky se v první fázi hledá optimální řešení – tedy nelze dál snížit hodnoty účelové funkce, je-li cílem její minimalizace, nebo zvýšit hodnoty účelové funkce, je-li cílem její maximalizace. V druhé fázi se hledá optimum transformované účelové funkce.

Pro úlohy nelineárního programování se používají například postupy konvexního programování.

Optimalizace v grafech

Graf =  množina uzlů a hran. Mnoho reálných systémů je možné znázornit ve formě grafů, např. znázornění distribuční sítě. Uzly v grafu v takové síti mohou být interpretovány jako distribuční centra, hrany jako spojnice mezi nimi.

Typické úlohy optimalizace v grafech:

• Optimální cesta grafem. Cíl: nalezení nejkratší cesty mezi dvěma uzly, tj. cesty mezi dvojicí uzlů s minimální délkou.
• Optimální spojení míst (minimální kostra grafu). Cíl: najít spojení mezi uzly, aby celkový průchod grafem byl co nejkratší a přitom existovalo spojení mezi každou dvojicí uzlů v grafu (např. optimalizace pro kabeláž).
• Optimální toky grafu (maximální tok). Cíl: zjistit maximální kapacitu (propustnost) sítě za jednotku času při respektování omezení na jednotlivých hranách.

Řízení projektů

Jedná se o typickou aplikaci teorie grafů. Projekt zpravidla chápeme jako soubor činností s definovanými návaznostmi, případně jinými charakteristikami (předpokládaná doba trvání, náklady na realizaci atp.). Přičemž realizace projektu = realizace všech činností. Projekt se tedy neobejde bez plánování a rozvrhování.

Typické úlohy řízení projektů:

• Hledání kritické cesty metodou CPM/PERT. Cíl: nalezení průchodu síťovým grafem na základě kritických činností projektu s nejmenší/nulovou časovou rezervou – na základě známých dob trvání činností (CPM), nebo jako pravděpodobnostní odhady (PERT).
• Pravděpodobnost dokončení projektu v čase T_s (PERT). Cíl: výpočet pravděpodobnosti, že projekt bude ukončen v daném čase Ts.
• Čas dokončení projektu s pravděpodobností p (PERT). Cíl: výpočet času T_s, v němž bude projekt ukončen se stanovenou pravděpodobností p.

Modely řízení zásob

Optimalizace zásob může přispět k uvolnění vázaných prostředků a snížení nákladů zásobovacích procesů. Aplikace modelů řízení zásob pomáhá stanovit, v jakém okamžiku objednat novou dodávku dané jednotky zásob a jak velká by tato objednávka měla být (= základní charakteristiky modelu).

Typické úlohy teorie zásob:

• Deterministické modely zásob. Cíl: Optimalizovat základní charakteristiky řízení zásob vzhledem k poptávce, která se během daného časového období nemění.
• Stochastické (pravděpodobnostní) modely zásob. Cíl: Optimalizovat základní charakteristiky řízení zásob vzhledem k poptávce, která je neurčitá, v daném časovém období se mění, její velikost lze odhadnout pouze s nějakou pravděpodobností.

Modely hromadné obsluhy

Cílem analýzy je zefektivnit fungování systémů hromadné obsluhy, a to tak aby se před obslužnými linkami nevytvářely velké fronty požadavků a aby v systému nedocházelo k neefektivním prostojům. Není-li možné analytické řešení (výpočet základních charakteristik), přistupuje se k simulační analýze, charakteristiky se tedy odvodí z modelu napodobujícího reálný chod.

Typické úlohy teorie hromadné obsluhy:

• Exponenciální modely hromadné obsluhy. Cíl: Optimalizovat základní charakteristiky systémů s ohledem na intenzitu příchodů požadavků a intenzitu provozu, optimalizovat počet obslužných linek s ohledem na minimalizaci nákladů provozu.

Vícekriteriální rozhodování

Cílem při analýze vícekriteriálních rozhodovacích úloh je řešit konflikt mezi vzájemně protikladnými kritérii, tak aby mohlo dojít k výběru jedné (kompromisní) varianty, nebo k uspořádání variant od nejlepší po nehorší, případně pouze ke klasifikaci variant do určitých tříd (například přijat/nepřijat).

Typické úlohy vícekriteriálního rozhodování:

• Odhad vah kritérií. Cíl: Získat váhy kritérií (např. pomocí Saatyho metdy, metody Fullerova trojúhelníku apod.), a usnadnit tak rozhodovateli prioritizaci.
• Vícekriteriální hodnocení variant. Cíl: Analyzovat a vyhodnotit konečný počet variant rozhodovacího problému (např. pomocí metody váženého součtu, TOPSIS nebo AHP).
• Vícekriteriální programování. Cíl: Analyzovat a vyhodnotit konečný počet variant rozhodovacího problému aplikací matematického programování (tj. výběr optimálního řešení z množiny přípustných řešení, kterou definuje soustava omezujících podmínek).

Markovovy procesy

Častým případem Markovových procesů jsou systémy, jejichž stav je definován stářím sledovaných jednotek. Jedná se o stochastické systémy s konečným počtem stavů (spojitá nebo diskrétní množina stavů), kdy je pro každý stav známá možnost a pravděpodobnost dosažení všech stavů systému.

Typické úlohy vícekriteriálního rozhodování:

• Analýza podílu na trhu. Cíl: Predikovat rozdělení trhu pro sledovaná období nebo po dostatečně velkém počtu období (pomocí limitního vektoru stacionárních pravděpodobností).
• Obnova selhávajících jednotek. Cíl: Predikovat počet jednotek, které selžou v jednotlivých obdobích (a bude je potřeba vyměnit za nové), získat informace o věkové struktuře jednotek systému, případně volba nákladově optimální strategie obnovy prvků.